Joseph Fourier et la quadrature du cercle

Au milieu de la page 140 de ce manuscrit de Fourier, on peut voir deux formules mathématiques qui ressemblent à des escaliers descendant vers la droite. Ce sont des fractions qui s’étagent. Chaque dénominateur est un nombre (ici 1,2,3,…) lui-même suivi par une fraction ayant, ici, θ (thêta) comme numérateur et, comme dénominateur, un nombre suivi d’une nouvelle fraction et ainsi de suite jusqu’à l’infini. Ces fractions s’appellent des fractions continues. Elles ont eu, et ont encore, une grande importance en mathématique. Certaines de leurs variantes ont été utilisées par le mathématicien français Charles Hermite (1822-1901) pour démontrer une certaine propriété (la transcendance) du nombre e, base des logarithmes népériens, et elles ont conduit à la démonstration de l’impossibilité de la quadrature du cercle (i.e. : construire avec une règle et un compas un carré de même aire qu’un disque donné), c’est-à-dire à la transcendance du nombre π, par le mathématicien allemand Carl Louis Ferdinand von Lindemann (1852-1939) en 1882, un problème ouvert depuis plus de deux mille ans puisque la tradition le fait remonter  Anaxagore de Clazomènes (c. 500 av. J.-C. – c. 428 av. J.-C.).