Joseph Fourier publie la Théorie analytique de la chaleur

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Par Claude Brezinski, mathématicien, professeur émérite à l’Université de Lille, spécialiste d’analyse numérique et d’histoire des sciences (CNRS, UMR 8524 - Laboratoire Paul Painlevé)


En 1822, le mathématicien Joseph Fourier publie la somme de ses principaux travaux sous le titre de Théorie analytique de la chaleur : il a 54 ans. Mais son intérêt pour le phénomène date déjà de l’époque où, passant des sables brûlants du désert aux humides vallées grenobloises, il est nommé préfet de l’Isère à son retour de l’expédition d’Égypte. Lauréat du Grand Prix de mathématiques de l’Institut en 1812, Joseph Fourier invente des fonctions pour décrire les « lois de propagation de la chaleur ». Connues sous le nom de « séries de Fourier », elles se révèlent d’une portée considérable pour l’analyse de toute information transmise sous forme de signal et connaissent aujourd’hui un nombre incalculable d‘applications.

Les séries de Fourier sont utilisées dans de nombreuses branches de la science. Elles sont un outil fondamental dans l’étude des fonctions périodiques et consistent à exprimer une telle fonction comme une somme infinie de fonctions sinusoïdales. Les séries trigonométriques étaient connues depuis le quinzième siècle mais il fallut attendre les travaux de Fourier au début du dix-neuvième siècle pour leur étude mathématique précise. Mais qui était Fourier et dans quel cadre ces séries ont-elles été introduites ?

La fonction sinus est périodique de période 2π ©Wikicommons

Pour comprendre à quoi servent les séries de Fourier, rendez-vous sur le site mathenvidéo (0min40)

Un mathématicien précoce

Jean Baptiste Joseph Fourier naquit le 21 mars 1768 à Auxerre. Fils d’un tailleur, il se retrouve orphelin à l’âge de dix ans. Recommandé par l’évêque d’Auxerre, il intègre en 1780 l’École militaire d’Auxerre tenue alors par les Bénédictins de la Congrégation de Saint-Maur. Il y développe un profond intérêt pour les mathématiques si bien qu’il est nommé professeur à seize ans. Deux voies s’offrent alors à lui : l’Armée ou l’Église. N’étant pas noble, le ministre de la Guerre refuse de l’intégrer au corps des ingénieurs ou à celui de l’artillerie. Fourier entre, en 1787, à l’abbaye de Saint-Benoît-sur-Loire où il enseigne les mathématiques à d’autres novices. Il est rendu à la vie civile par la dissolution des ordres religieux quelques jours avant de prononcer ses vœux. En 1789, il présente à l’Académie des sciences un mémoire intitulé Sur la résolution des équations numériques de degré quelconque. Revenu à Auxerre, il participe à la Révolution et est sauvé de la guillotine par la chute de Robespierre.

En 1794, Fourier entre comme élève à l’École normale de l’an III qui ne durera que quatre mois. Il est ensuite nommé répétiteur à l’École centrale des travaux publics puis à l’École polytechnique qui lui succède. Il occupe ce poste jusqu’en 1797. Il collabore avec Gaspard Monge (1746-1818) pour les cours de géométrie descriptive et enseigne l’analyse sous la tutelle de Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). En 1797, il succède à Lagrange à la direction du cours d’analyse et de mécanique.

Joseph Fourier au service de l’Empire

Il fait partie en 1798 des scientifiques de l’expédition d’Égypte recrutés par Monge. Bonaparte le désigne comme Secrétaire perpétuel de l’Institut d’Égypte créé selon un plan inspiré de celui de Paris. Fourier séjourne en Égypte jusqu’en 1801 où il mène des travaux scientifiques, historiques, ´ administratifs et diplomatiques. Il est chargé d’écrire la « Préface historique » de l’ouvrage Description de l’Égypte (1809) qui regroupe l’ensemble des observations effectuées au cours de l’expédition.

À son retour en France en 1802, Fourier est nommé préfet du département de l’Isère. Son nom reste attaché à des grands travaux (assèchement des marais de Bourgoin, ouverture de la route de Grenoble à Turin par le col du Lautaret). Il trouve cependant le temps de s’intéresser à la propagation de la chaleur. Il écrit : La question de la propagation de la chaleur consiste à déterminer quelle est la température de chaque point d’un corps à un instant donné, en supposant que les températures initiales sont connues. Il est intéressant de noter que la campagne d’Égypte avait fortement nui à sa santé. Il s’était acclimaté à ce pays et le froid et l’humidité de Grenoble lui causent des rhumatismes. Il hait le froid et il n’est pas étonnant qu’il se soit intéressé au problème physique de la conduction de la chaleur.

Le Grand Prix de mathématiques de l’Institut (1812)

Le 21 décembre 1807, Fourier soumet à la première Classe de l’Institut national des sciences et des arts un mémoire intitulé Théorie de la propagation de la chaleur dans les solides. Mais seul un bref compte-rendu en est donné. Pendant les années 1808 et 1809, Fourier en publie de nombreuses mises au point pour répondre aux améliorations suggérées par l’Académie. En 1811, la section de géométrie de l’Institut met au concours la question “Donner la théorie mathématique des lois de la propagation de la chaleur, et comparer le résultat de cette théorie à des expériences exactes”. Fourier soumet, anonymement selon l’usage, un nouveau mémoire, nettement amélioré, sous l’appellation Et ignem regunt numeri (Les nombres gouvernent aussi le feu). L’Institut couronne ses travaux le 6 janvier 1812 par le grand Prix de Mathématiques de l’Institut, mais ne publie pas le travail car certains académiciens ne le trouvent pas encore parfait.

Entre temps, Fourier crée en 1810 la Faculté (université) Impériale de Grenoble dont il devient le recteur. Il encourage Jean-François Champollion (1790-1832), le jeune frère de son secrétaire Jacques-Joseph Champollion (1778-1867), à déchiffrer les hiéroglyphes. Avec le retour de l’Île d’Elbe, Fourier est pris entre Napoléon et les Bourbons. Il est révoqué en mai 1815, mais est cependant élu académicien libre le 27 mai 1816. Louis XVIII n’approuve pas cette élection. Une nouvelle élection, le 12 mai 1817, est confirmée par le roi le 23 mai 1817 et il est nommé directeur du Bureau des statistiques de la Seine.

Les apports majeurs de La Théorie analytique de la chaleur

Lassé d’attendre la publication de son travail par l’Académie, Fourier fait paraître en 1822 son monumental ouvrage de 639 pages Théorie analytique de la chaleur qui, outre ses fameuses séries, contient également la transformée de Fourier. Comme l’explique Jean-Pierre Kahane (1926-2017), éminent spécialiste des travaux de Fourier : Il étudie la façon dont se présente l’équilibre de la chaleur ou sa propagation au cours du temps dans des corps de formes diverses, et a établi les deux équations générales : à l’intérieur du solide et à son bord […] L’outil principal pour la mise en évidence de ces équations est la notion de flux, qui est un apport conceptuel majeur de Fourier à la physique. Il s’agissait ensuite pour Fourier de résoudre ces équations aux dérivées partielles dans une série de cas particuliers. C’est alors qu’il développe la méthode de décomposition en harmoniques que nous appelons aujourd’hui l’analyse de Fourier […] Fourier ne se borne pas à la théorie et aux calculs. Dans son appartement de préfet, il mène des expériences pour les vérifier et en dresse soigneusement les comptes rendus.

Le 18 novembre 1822, Fourier est élu Secrétaire perpétuel de l’Académie pour les sciences mathématiques. Il consacre l’essentiel de son temps à cette fonction tout en continuant à publier des travaux scientifiques. Le 11 décembre 1823, il est nommé membre étranger de la Royal Society de Londres, puis membre de l’Académie française le 14 décembre 1826.

On doit à Fourier les prémices de la programmation linéaire qui sera développée par George Bernard Dantzig (1914-2005) dans la période 1937-45, ainsi que les premières études sur l’effet de serre dans Mémoire sur les températures du globe terrestre et des espaces planétaires publié en 1824. La transformée de Fourier sera améliorée en 1965 par James William Cooley (1926-2016) et John Wilder Tukey (1915-2000) pour devenir la transformée de Fourier rapide. Les séries de Fourier sont à la base du développement des ondelettes utilisées pour la compression des données informatiques et des images. L’influence de Fourier est donc toujours d’actualité.

Les dernières années de sa vie, la santé de Fourier est fort délabrée. Il manifeste une sensibilité excessive au froid. Atteint d’un anévrisme au cœur, il décède à Paris le 16 mai 1830. 

À lire :

ARAGO, François, « Éloge historique de Joseph Fourier », site de l’Académie des sciences [consulté le 01/06/2022] ou Gallica [consulté le 01/06/2022].

DHOMBRES, Jean, ROBERT, Jean-Bernard, Joseph Fourier, créateur de la physique mathématique, Belin, Paris, 1998.

KAHANE, Jean-Pierre, « Le retour de Fourier », site de l’Académie des sciences [consulté le 01/06/2022]. 

 

Jeune public :

MARIE, Emmanuel (scénariste), CERISIER, Emmanuel (dessinateur), Les oscillations de Joseph Fourier (en BD), Éditions Petit à petit, 2018

 

Crédits photos : 

Illustration de la page d’accueil : Extrait du manuscrit de J. Fourier ayant remporté le Grand Prix de mathématiques de l’Institut en 1812 © Archives de l’Académie des sciences

Illustration du chapô : Portrait de Joseph Fourier © Archives de l’Académie des sciences

Illustration de la notice générale : Théorie analytique de la chaleur, première de couverture © Gallica

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